Prérequis mathématiques

Ce texte rassemble les notions mathématiques mobilisées dans le texte. Elle s’adresse au lecteur qui n’est pas nécessairement familier avec le langage formel, et vise à rendre chaque notion accessible par l’intuition avant de la préciser par la notation.

Chaque section peut être lue indépendamment des autres. Les concepts sont présentés dans l’ordre où ils apparaissent dans le texte principal.

0 — Langage logique

L’idée

Avant les mathématiques elles-mêmes, il y a le langage dans lequel elles s’écrivent. Ce langage logique est la grammaire minimale qui permet de formuler des propositions précises, de les relier par des règles d’inférence, et de conduire des raisonnements rigoureux.

Le langage naturel est riche, mais ambigu. « Tout le monde n’est pas venu » peut signifier « personne n’est venu » ou « certains ne sont pas venus » — selon le contexte et l’intonation. Le langage logique sacrifie cette richesse à l’exactitude : chaque énoncé a une valeur de vérité déterminée, vrai ou faux, sans place pour l’ambiguïté.

Propositions et prédicats

Une proposition est un énoncé auquel on peut attribuer une valeur de vérité : vrai ou faux, sans ambiguïté. « 2 est pair » est une proposition (vraie). « 7 est pair » est une proposition (fausse). « Combien vaut $x$ ? » n’est pas une proposition.

Un prédicat est une propriété paramétrable : une propriété qui dépend d’une ou plusieurs variables. On note $P(x)$ pour dire « l’objet $x$ possède la propriété $P$ ». La variable $x$ est dite libre : substituer un objet concret à $x$ donne une proposition ayant une valeur de vérité déterminée.

Exemples.

$\mathrm{Pair}(n)$ : « $n$ est un entier pair ». $\mathrm{Pair}(4)$ est vrai ; $\mathrm{Pair}(3)$ est faux.
$E(x)$ : « $x$ existe ». C’est le prédicat primitif posé au chapitre 0 — il ne se définit pas à partir d’autre chose, il se constate directement.
$x \in A$ : « $x$ appartient à l’ensemble $A$ » — une relation binaire lue comme prédicat à deux variables.

Un prédicat peut dépendre de plusieurs variables : $R(x, y)$ signifie « $x$ est en relation $R$ avec $y$ ».

Connecteurs logiques

Les propositions se combinent à l’aide de connecteurs logiques :

Symbole	Lecture	La proposition composée est vraie quand…
$\neg P$	« non $P$ »	$P$ est fausse
$P \wedge Q$	« $P$ et $Q$ »	$P$ et $Q$ sont toutes deux vraies
$P \vee Q$	« $P$ ou $Q$ »	au moins l’une est vraie
$P \Rightarrow Q$	« si $P$ alors $Q$ »	$P$ est fausse, ou $Q$ est vraie
$P \Leftrightarrow Q$	« $P$ si et seulement si $Q$ »	$P$ et $Q$ ont la même valeur de vérité

Remarque sur l’implication. L’implication $P \Rightarrow Q$ n’est fausse que dans un seul cas : $P$ vraie et $Q$ fausse. Si $P$ est fausse, l’implication est vraie quelle que soit $Q$ — on ne peut reprocher à une promesse de ne pas avoir été tenue que si elle a effectivement été formulée. Cette convention peut surprendre, mais elle est la seule qui rende l’implication compatible avec le raisonnement mathématique.

Remarque sur la disjonction. Le « ou » logique est inclusif : $P \vee Q$ est vraie même si $P$ et $Q$ sont toutes deux vraies. Le « ou exclusif » (l’un ou l’autre, mais pas les deux) est noté $P \oplus Q$.

Quantificateurs

Les quantificateurs permettent de faire porter une propriété sur les éléments d’un ensemble, soit en affirmant qu’elle vaut pour tous, soit en affirmant qu’il en existe au moins un qui la satisfait.

Le quantificateur universel $\forall$ se lit « pour tout ». $\forall x \in A,\, P(x)$ signifie : « pour chaque élément $x$ de $A$, $P(x)$ est vraie ».
Le quantificateur existentiel $\exists$ se lit « il existe ». $\exists x \in A,\, P(x)$ signifie : « au moins un élément $x$ de $A$ satisfait $P(x)$ ».

Exemples.

$\forall n \in \mathbb{N},\; n \geq 0$ — tout entier naturel est positif ou nul. (Vrai.)
$\exists n \in \mathbb{N},\; n > 100$ — il existe un entier naturel supérieur à 100. (Vrai.)
$\forall x \in \mathbb{R},\; x^2 \geq 0$ — le carré de tout réel est non négatif. (Vrai.)
$\exists x \in \mathbb{R},\; x^2 = -1$ — il existe un réel dont le carré vaut $-1$. (Faux dans $\mathbb{R}$.)

La négation des quantificateurs obéit à des règles duales :

$\neg\bigl(\forall x,\; P(x)\bigr) \;\Longleftrightarrow\; \exists x,\; \neg P(x)$ $\neg\bigl(\exists x,\; P(x)\bigr) \;\Longleftrightarrow\; \forall x,\; \neg P(x)$

« Il n’est pas vrai que tous les entiers naturels sont pairs » équivaut à « il existe un entier naturel qui n’est pas pair ». « Il n’existe aucun réel dont le carré est négatif » équivaut à « pour tout réel, son carré est non négatif ».

Variables libres et variables liées

Dans la formule $\forall x \in A,\, P(x)$, la variable $x$ est dite liée par le quantificateur : elle est capturée, et renommer $x$ en $y$ ne change pas le sens de la formule — $\forall y \in A,\, P(y)$ dit exactement la même chose.

En revanche, dans $P(x)$ sans quantificateur, $x$ est libre : le sens dépend de ce qu’on substitue à $x$. $P(3)$ et $P(7)$ peuvent avoir des valeurs de vérité différentes.

Cette distinction est importante pour interpréter les définitions par compréhension.

Notation de compréhension

La notation $\{x \mid P(x)\}$ désigne la collection de tous les objets $x$ satisfaisant la propriété $P(x)$. On dit que cette collection est définie par compréhension.

Exemples.

$\{n \in \mathbb{N} \mid n \text{ est pair}\} = \{0, 2, 4, 6, \ldots\}$
$\{x \in \mathbb{R} \mid x^2 < 1\} = (-1, 1)$

Dans le chapitre 0, cette notation fonde les classes fondamentales :

\[R = \left\{ x \mid E(x) \right\}, \qquad V = \left\{ x \mid \neg E(x) \right\}\]

La notation est intuitive — mais prise sans contrainte, elle conduit à des paradoxes. La théorie axiomatique des ensembles, présentée dans la section 2, précise dans quels cadres elle est légitime.

1 — Ensembles et parties

L’idée

Un ensemble est simplement une collection d’objets. Ces objets peuvent être de n’importe quelle nature : des nombres, des personnes, des villes, des idées. L’important est qu’on puisse dire, pour chaque objet, s’il appartient ou non à la collection.

On note $x \in A$ pour dire « $x$ appartient à l’ensemble $A$ », et $x \notin A$ pour dire « $x$ n’appartient pas à $A$ ».

Un ensemble peut être décrit de deux manières :

En extension — en listant ses éléments : $A = \{1, 2, 3\}$
En compréhension — en décrivant une propriété : $A = \{x \in \mathbb{N} \mid x < 4\}$ (les entiers naturels strictement inférieurs à 4)

Sous-ensembles

Un sous-ensemble (ou partie) de $A$ est un ensemble dont tous les éléments appartiennent à $A$. On note $B \subseteq A$ et on dit « $B$ est inclus dans $A$ ».

Exemple. Si $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$, alors $\{2, 4\}$ est un sous-ensemble de $A$, de même que $\{1\}$, $A$ lui-même, et l’ensemble vide $\emptyset$ (qui ne contient aucun élément).

Ensemble des parties

L’ensemble des parties de $A$, noté $\mathcal{P}(A)$, est l’ensemble de tous les sous-ensembles de $A$ — y compris l’ensemble vide et $A$ lui-même.

Exemple. Si $A = \{1, 2\}$, alors :

$\mathcal{P}(A) = \{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{1, 2\}\}$

Quatre sous-ensembles : rien, seulement le 1, seulement le 2, les deux.

En général, si $A$ contient $n$ éléments, $\mathcal{P}(A)$ contient $2^n$ éléments. Ce nombre croît très vite : pour 10 éléments, il y a 1 024 sous-ensembles ; pour 20 éléments, plus d’un million.

Opérations sur les ensembles

L’union $A \cup B$ contient les éléments qui sont dans $A$ ou dans $B$ (ou les deux).
L’intersection $A \cap B$ contient les éléments qui sont dans $A$ et dans $B$.
La différence $A \setminus B$ contient les éléments de $A$ qui ne sont pas dans $B$.

Exemple. Si $A = \{1, 2, 3\}$ et $B = \{2, 3, 4\}$, alors : $A \cup B = \{1, 2, 3, 4\}$, $A \cap B = \{2, 3\}$, et $A \setminus B = \{1\}$.

Infini et cardinalité

Un ensemble peut être fini — il contient un nombre $n \in \mathbb{N}$ d’éléments — ou infini.

L’infini admet lui-même une hiérarchie. Un ensemble est dénombrable s’il peut être mis en correspondance biunivoque avec $\mathbb{N}$ : ses éléments peuvent être alignés en une liste exhaustive $a_0, a_1, a_2, \ldots$ Les ensembles $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$ et $\mathbb{Q}$ sont dénombrables. Un ensemble est indénombrable s’il est trop grand pour être listé : Cantor a démontré que $\mathbb{R}$ est indénombrable — aucune suite $a_0, a_1, a_2, \ldots$ ne peut contenir tous les réels. La hiérarchie des infinis est elle-même infinie.

L’existence d’un ensemble infini ne se démontre pas à partir des autres axiomes : elle requiert l’axiome de l’infini, l’un des axiomes fondateurs de la théorie des ensembles standard (ZFC). Sans cet axiome, la construction mathématique se restreint aux ensembles finis.

Certaines constructions sur des ensembles infinis (par exemple, sélectionner simultanément un élément dans chacun d’une infinité d’ensembles) requièrent en outre l’axiome du choix, dont l’acceptation est elle-même l’objet de débats fondationnels.

2 — Axiomatique de la théorie des ensembles

L’idée

La théorie naïve des ensembles repose sur un principe séduisant : pour toute propriété $P$, il existe un ensemble contenant exactement les objets qui la satisfont. Ce principe de compréhension est intuitif — mais sans restriction, il conduit à des contradictions.

Le paradoxe de Russell. Considérons la propriété $P(x) := (x \notin x)$ — avoir la propriété de ne pas s’appartenir soi-même. Si le principe naïf est valide, il existe un ensemble $\mathcal{R} = \{x \mid x \notin x\}$. Maintenant demandons : $\mathcal{R}$ appartient-il à lui-même ?

Si $\mathcal{R} \in \mathcal{R}$ : par définition de $\mathcal{R}$, $\mathcal{R} \notin \mathcal{R}$. Contradiction.
Si $\mathcal{R} \notin \mathcal{R}$ : par définition de $\mathcal{R}$, $\mathcal{R} \in \mathcal{R}$. Contradiction.

Dans les deux cas, une contradiction. Le paradoxe montre qu’on ne peut pas former librement des ensembles à partir de n’importe quelle propriété. Il faut des règles explicites — un système d’axiomes — qui contrôlent quelles collections sont des ensembles légitimes.

La réponse standard, élaborée par Zermelo puis Fraenkel au début du XX$^\text{e}$ siècle, est la théorie ZF (Zermelo–Fraenkel), à laquelle on ajoute généralement l’axiome du choix pour obtenir ZFC.

Les axiomes de ZF

Les axiomes suivants sont présentés intuitivement, avec leur formulation logique pour les plus importants dans le cadre du texte.

Extensionnalité. Deux ensembles sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes éléments :

\[\forall x\, \forall y\;\Bigl(\bigl(\forall z,\; z \in x \Leftrightarrow z \in y\bigr) \Rightarrow x = y\Bigr)\]

Un ensemble est entièrement déterminé par ses membres — rien d’autre ne le caractérise. C’est ce que le chapitre 0 nomme le principe d’extensionnalité : deux choses sont distinctes si et seulement si elles ont des constituants différents.

Ensemble vide. Il existe un ensemble sans éléments :

\[\exists x\, \forall y,\; y \notin x\]

Cet ensemble est unique (par extensionnalité) et noté $\emptyset$.

Paire. Pour tous objets $a$ et $b$, il existe un ensemble $\{a, b\}$ contenant exactement ces deux éléments.

Réunion. Pour toute famille $\mathcal{F}$ d’ensembles, il existe un ensemble $\bigcup \mathcal{F}$ contenant exactement les éléments des membres de $\mathcal{F}$ :

\[\forall \mathcal{F},\;\exists z,\;\forall x\;\bigl(x \in z \Leftrightarrow \exists y \in \mathcal{F},\; x \in y\bigr)\]

Parties. Pour tout ensemble $A$, l’ensemble $\mathcal{P}(A)$ de tous ses sous-ensembles existe :

\[\forall A,\;\exists z,\;\forall x\;\bigl(x \in z \Leftrightarrow x \subseteq A\bigr)\]

Schéma de séparation. Pour tout ensemble $A$ et toute propriété $P$, l’ensemble $\{x \in A \mid P(x)\}$ existe :

\[\forall A,\;\exists z,\;\forall x\;\bigl(x \in z \Leftrightarrow x \in A \wedge P(x)\bigr)\]

C’est la version restreinte et sûre du principe de compréhension : on ne peut pas former librement l’ensemble de tous les $x$ satisfaisant $P$, mais on peut former l’ensemble des $x$ appartenant déjà à un ensemble donné $A$ qui satisfont $P$. Cette restriction suffit à bloquer le paradoxe de Russell — car $\mathcal{R}$ exigerait un ensemble de tous les $x$, pas des $x$ d’un ensemble préalable.

Axiome de l’infini. Il existe un ensemble infini. L’axiome le construit explicitement : il postule un ensemble $I$ contenant $\emptyset$ et stable par l’opération $x \mapsto x \cup \{x\}$ :

\[\exists I\;\bigl(\emptyset \in I \;\wedge\; \forall x \in I,\; x \cup \nobreak\left\{x\right\}\nobreak \in I\bigr)\]

En appliquant cette opération depuis $\emptyset$, on obtient la suite :

\[\emptyset,\quad \\{\emptyset\\},\quad \\{\emptyset, \\{\emptyset\\}\\},\quad \\{\emptyset, \\{\emptyset\\}, \\{\emptyset, \\{\emptyset\\}\\}\\},\quad \ldots\]

Ce sont les entiers naturels construits à l’intérieur de la théorie des ensembles : $0 := \emptyset$, $1 := \{0\}$, $2 := \{0, 1\}$, $3 := \{0, 1, 2\}$, etc. Sans cet axiome, aucun ensemble infini — et donc ni $\mathbb{N}$, ni $\mathbb{R}$, ni aucune structure mathématique infinie — ne peut être garanti.

Schéma de remplacement. Si $F$ est une relation fonctionnelle (à chaque $x \in A$ est associé au plus un $y$ tel que $F(x, y)$), alors l’image de tout ensemble $A$ par $F$ est un ensemble :

\[\forall A,\;\forall x \in A,\;\exists!\, y,\; F(x,y) \;\Longrightarrow\; \exists B,\;\forall y\;\bigl(y \in B \Leftrightarrow \exists x \in A,\; F(x, y)\bigr)\]

Ce schéma est essentiel pour les constructions par itération transfinite — en particulier pour la clôture transitive $\mathrm{TC}(R)$ du chapitre 0 :

\[\mathrm{TC}(R) = \bigcup_{n \in \omega}\; \bigcup^n R\]

Cette union infinie est légitime précisément parce que le schéma de remplacement permet de former l’ensemble $\{\bigcup^n R \mid n \in \omega\}$ à partir de l’ensemble $\omega$ (les entiers), et que l’axiome de réunion permet ensuite d’en prendre l’union.

Axiome de fondation (ou de régularité). Tout ensemble non vide contient un élément disjoint de lui-même :

\[\forall x\;\Bigl(x \neq \emptyset \;\Rightarrow\; \exists y \in x,\; y \cap x = \emptyset\Bigr)\]

Ce que cet axiome interdit. Il n’existe pas de suite infinie $x_0 \ni x_1 \ni x_2 \ni \cdots$ (où $a \ni b$ signifie $b \in a$) : toute descente dans la relation d’appartenance est finie. En particulier, aucun ensemble ne s’appartient lui-même ($x \notin x$ pour tout $x$) — ce qui rend le paradoxe de Russell inexprimable dans ce cadre.

Lien avec le chapitre 0. C’est l’axiome de fondation qui garantit que toute chaîne $x \ni c_1 \ni c_2 \ni \cdots$ dans le Réel est finie, et donc que les substances (éléments $\in$-minimaux) existent et sont accessibles depuis tout composé. Sans cet axiome, certaines chaînes pourraient s’étendre indéfiniment sans jamais atteindre un fond.

L’axiome du choix (ZFC)

L’axiome du choix affirme que pour toute collection d’ensembles non vides, il existe une fonction de choix qui sélectionne un élément dans chacun d’eux :

\[\forall \mathcal{F}\;\Bigl(\emptyset \notin \mathcal{F} \;\Rightarrow\; \exists f : \mathcal{F} \to \bigcup\mathcal{F},\;\forall A \in \mathcal{F},\; f(A) \in A\Bigr)\]

Pour une collection finie d’ensembles non vides, cela va de soi — on peut construire la fonction de choix explicitement en sélectionnant un élément dans chaque ensemble l’un après l’autre. Pour une collection infinie, on affirme l’existence d’une telle fonction sans nécessairement pouvoir l’exhiber.

Cet axiome est indépendant de ZF : on ne peut ni le prouver ni le réfuter à partir des autres axiomes (résultat de Gödel–Cohen). Son acceptation n’est pas universelle : il a des conséquences surprenantes (comme le paradoxe de Banach–Tarski, selon lequel une boule peut être décomposée et réassemblée en deux boules identiques à l’originale). La majorité des mathématiciens travaillent dans ZFC, mais le statut de l’axiome du choix reste l’un des débats fondationnels ouverts de la discipline.

Ensembles et classes propres — la théorie NBG

Le problème des collections « trop grandes ». ZF interdit le paradoxe de Russell en restreignant la compréhension. Mais cette restriction a un coût : certaines collections entièrement légitimes ne sont pas des ensembles au sens de ZF. Par exemple :

La collection de tous les ensembles — l’univers $V$ de ZF — ne peut pas être un ensemble dans ZF (sinon on reproduit des contradictions analogues au paradoxe de Russell).
La collection de tous les ordinaux (les nombres ordinaux transfinis) n’est pas un ensemble.
Dans le chapitre 0, le Réel $R = \{x \mid E(x)\}$ — la collection de tout ce qui existe — est une collection trop vaste pour être un ensemble.

Classes et classes propres. La théorie NBG (von Neumann–Bernays–Gödel), une extension conservative de ZF, résout cette tension en introduisant une distinction entre deux types d’objets :

Un ensemble est une collection qui peut elle-même être membre d’autres collections. C’est un objet ordinaire — il peut figurer à droite du symbole $\in$.
Une classe est une collection définie par une propriété $P$ : $\{x \mid P(x)\}$. Si tous ses membres forment un ensemble (au sens de ZF), la classe est elle-même un ensemble. Sinon, on parle de classe propre.

Une classe propre est une collection trop grande pour être un ensemble. Elle peut être nommée et servir de domaine de quantification, mais elle ne peut pas figurer comme membre d’une autre classe ou d’un ensemble — c’est précisément ce qui la distingue d’un ensemble.

Exemples de classes propres.

$\mathbf{V} = \{x \mid x = x\}$ : la classe de tous les ensembles — l’univers de ZF. Trop grande pour être un ensemble. (On la note $\mathbf{V}$ pour la distinguer de la classe suivante.)
$\mathrm{Ord} = \{x \mid x \text{ est un ordinal}\}$ : la classe de tous les ordinaux.
$R = \{x \mid E(x)\}$ : la classe du Réel dans le chapitre 0 — la collection de tout ce qui possède la propriété d’exister. Puisqu’elle contient absolument tout ce qui est, elle ne peut être contenue dans aucun ensemble, et n’en est pas un.
$V = \{x \mid \neg E(x)\}$ : la classe du Vide dans le chapitre 0 — les cas logiques sans instanciation.

Rappel du chapitre 0.

Les classes $R = \{x \mid E(x)\}$ et $V = \{x \mid \neg E(x)\}$ sont des classes propres au sens de NBG. Elles ne sont pas des ensembles au sens de ZFC. Cette distinction est essentielle : sans elle, la notation $\{x \mid E(x)\}$ sans restriction d’un ensemble préalable tomberait sous le coup du paradoxe de Russell. NBG permet de les nommer, de raisonner à leur sujet, et d’y appliquer des quantificateurs — sans pour autant les traiter comme des membres d’autres objets.

La partition est exhaustive et exclusive : $R \cup V$ contient tout, $R \cap V = \emptyset$.

La hiérarchie cumulative de Von Neumann

L’axiome de fondation a une conséquence structurelle profonde : tous les ensembles de ZF peuvent être organisés en une hiérarchie cumulative — la hiérarchie de Von Neumann — indexée par les ordinaux.

On définit par récurrence transfinie :

\[V_0 = \emptyset, \qquad V_{\alpha+1} = \mathcal{P}(V_\alpha), \qquad V_\lambda = \bigcup_{\alpha < \lambda} V_\alpha \;\text{(pour $\lambda$ ordinal limite)}\]

Les premiers niveaux :

$V_0 = \emptyset$
$V_1 = \{\emptyset\}$ — un seul ensemble : l’ensemble vide
$V_2 = \{\emptyset, \{\emptyset\}\}$ — deux éléments
$V_3 = \{\emptyset, \{\emptyset\}, \{\{\emptyset\}\}, \{\emptyset, \{\emptyset\}\}\}$ — quatre éléments

L’univers entier $V = \bigcup_\alpha V_\alpha$ est la classe de tous les ensembles. Sous l’axiome de fondation, tout ensemble appartient à un certain niveau $V_\alpha$ — c’est la garantie que la descente dans $\in$ s’arrête toujours.

Dans le chapitre 0, la clôture transitive $\mathrm{TC}(R)$ opère un parcours descendant dans cette hiérarchie : elle collecte tous les éléments accessibles depuis $R$ par itération de l’appartenance, et l’axiome de fondation garantit que ce parcours atteint les substances ($\in$-minimaux) en un nombre fini de pas.

3 — N-uplets et produit cartésien

L’idée

Un $n$-uplet est une liste ordonnée de $n$ éléments. L’ordre compte : la liste $(a, b)$ n’est pas la même que la liste $(b, a)$.

Un 2-uplet s’appelle un couple : $(x, y)$
Un 3-uplet s’appelle un triplet : $(x, y, z)$
Et ainsi de suite.

Le produit cartésien

Si $X$ est un ensemble, $X^n$ désigne l’ensemble de tous les $n$-uplets d’éléments de $X$. C’est le produit cartésien de $X$ avec lui-même, $n$ fois.

Exemple. Si $X = \{a, b\}$, alors :

$X^1 = \{a, b\}$ — deux éléments
$X^2 = \{(a,a), (a,b), (b,a), (b,b)\}$ — quatre couples
$X^3$ contient $2^3 = 8$ triplets : $(a,a,a)$, $(a,a,b)$, $(a,b,a)$, etc.

En général, si $X$ contient $k$ éléments, $X^n$ contient $k^n$ éléments.

Remarque. On peut aussi former le produit cartésien de deux ensembles différents : $A \times B = \{(a, b) \mid a \in A, b \in B\}$. Par exemple, si $A = \{1, 2\}$ et $B = \{x, y, z\}$, alors $A \times B$ contient $2 \times 3 = 6$ couples.

4 — Applications

L’idée

Une application (ou fonction) est une règle qui associe à chaque élément d’un ensemble de départ exactement un élément d’un ensemble d’arrivée. Le mot clé est exactement un : chaque entrée produit une et une seule sortie.

On note $f : A \to B$ pour dire « $f$ est une application de $A$ dans $B$ ». Pour un élément $x \in A$, on note $f(x) \in B$ l’élément qui lui est associé — son image par $f$.

Exemple du quotidien. L’application « capitale de » associe à chaque pays sa capitale : $f(\text{France}) = \text{Paris}$, $f(\text{Japon}) = \text{Tokyo}$. Chaque pays a exactement une capitale — c’est bien une application. En revanche, « ville de » n’est pas une application : un pays contient plusieurs villes.

Vocabulaire

$A$ est le domaine (ou ensemble de départ) — l’ensemble des entrées.
$B$ est le codomaine (ou ensemble d’arrivée) — l’ensemble dans lequel vivent les sorties.
L’image de $f$ est l’ensemble des éléments de $B$ effectivement atteints : $\text{Im}(f) = \{f(x) \mid x \in A\}$.

L’ensemble des applications $B^A$

L’ensemble de toutes les applications de $A$ dans $B$ est noté $B^A$.

Cette notation s’explique par le comptage : si $A$ contient $m$ éléments et $B$ contient $n$ éléments, alors le nombre d’applications de $A$ dans $B$ est $n^m$ — chaque élément de $A$ peut être envoyé sur l’un des $n$ éléments de $B$, et ces choix sont indépendants.

Exemple. Si $A = \{1, 2\}$ et $B = \{a, b, c\}$, alors $B^A$ contient $3^2 = 9$ applications. Par exemple : $f(1) = a, f(2) = a$ ; ou $f(1) = b, f(2) = c$ ; etc.

En particulier, $A^A$ désigne l’ensemble de toutes les applications de $A$ dans $A$ — toutes les transformations possibles de $A$ vers lui-même. Si $A$ contient $n$ éléments, $A^A$ contient $n^n$ applications. Pour $n = 3$, cela fait déjà 27 transformations ; pour $n = 10$, dix milliards.

Composition

Si $f : A \to B$ et $g : B \to C$, la composition $g \circ f : A \to C$ est l’application qui fait d’abord $f$, puis $g$ :

$(g \circ f)(x) = g(f(x))$

La composition est au coeur de la notion de trajectoire : appliquer une action, puis une autre, c’est composer.

5 — Relations

L’idée

Une relation exprime un lien entre des éléments. « Alice est amie de Bob », « 3 est inférieur à 7 », « Paris est la capitale de la France » — ce sont des relations.

En mathématiques, une relation n’est rien d’autre qu’un ensemble de combinaisons d’éléments qui satisfont un certain critère.

Relation binaire

La relation la plus courante relie deux éléments. On l’appelle relation binaire. Formellement, une relation binaire $R$ sur un ensemble $X$ est un sous-ensemble de $X^2$ — c’est-à-dire un ensemble de couples.

Si $(x, y) \in R$, on dit que « $x$ est en relation avec $y$ » et on écrit $R(x, y)$.

Exemple. Soit $X = \{A, B, C\}$ un ensemble de trois personnes. La relation d’amitié pourrait être :

$R = \{(A,B), (B,A), (B,C), (C,B)\}$

Cela signifie : A et B sont amis (la relation va dans les deux sens), B et C sont amis, mais A et C ne le sont pas. La relation d’amitié est ici symétrique — si $R(x,y)$ alors $R(y,x)$ — mais ce n’est pas toujours le cas. La relation « $x$ admire $y$ » peut ne pas être symétrique.

Relations de degré supérieur

Une relation de degré $n$ (ou d’arité $n$) relie $n$ éléments simultanément. Formellement, c’est un sous-ensemble $R \subseteq X^n$.

Exemple. La relation ternaire « $x$ présente $y$ à $z$ » est un ensemble de triplets. Si Alice présente Bob à Carole, on écrit $R(A, B, C)$.

Propriétés des relations binaires

Certaines relations binaires possèdent des propriétés remarquables :

Réflexive : tout élément est en relation avec lui-même. $R(x, x)$ pour tout $x$.
Symétrique : si $R(x, y)$ alors $R(y, x)$. L’amitié est symétrique ; l’admiration ne l’est pas nécessairement.
Transitive : si $R(x, y)$ et $R(y, z)$ alors $R(x, z)$. « Être ancêtre de » est transitif ; « être ami de » ne l’est pas.
Antisymétrique : si $R(x, y)$ et $R(y, x)$ alors $x = y$. L’ordre « $\leq$ » est antisymétrique.

Ces propriétés se combinent pour définir des structures particulières — par exemple, une relation d’ordre est réflexive, antisymétrique et transitive (voir section 7).

Relations logiques et valuées

Les relations possibles entre les éléments d’un système admettent deux formalisations, selon le degré de richesse qu’on souhaite capturer.

Relation logique

Définition — Relation logique

Une relation possible $R$ de degré $n$ sur $X$ est un sous-ensemble de $X^n$ :

$R \subseteq X^n$

Elle désigne l’ensemble des $n$-uplets d’éléments entre lesquels la relation peut exister. La valeur de la relation est binaire : pour un $n$-uplet donné, le lien est possible ou ne l’est pas.

La restriction de $R$ à un sous-ensemble $A \subseteq X$ d’éléments présents, notée $R \restriction_A$, est l’ensemble des $n$-uplets de $R$ dont tous les éléments appartiennent à $A$ :

\[R \restriction_A = R \cap A^n\]

Relation valuée

La relation logique admet une généralisation naturelle. Au lieu de se limiter à « le lien existe ou n’existe pas », on peut associer à chaque $n$-uplet une valeur — une intensité, un poids, une mesure.

Définition — Relation valuée

Une relation possible $R$ de degré $n$, valuée dans un ensemble $W$, est une application :

$R : X^n \to W$

qui associe à chaque $n$-uplet d’éléments de $X$ une valeur dans $W$.

L’ensemble $W$ est appelé espace de valuation de la relation. Il contient un élément distingué, noté $0$ (ou $\bot$), qui signifie absence de relation.

L’espace de valuation $W$ capture la richesse du lien. Selon le choix de $W$, on retrouve différents cadres :

$W = \{0, 1\}$ : la relation est binaire — le lien existe ($1$) ou n’existe pas ($0$). On retrouve exactement la relation logique de la définition précédente.
$W = \mathbb{R}^+$ : la relation porte une intensité continue — une force d’attraction, un débit, une affinité. Le lien n’est plus « tout ou rien » ; il possède un poids.
$W$ fini (par exemple $\{\text{nul}, \text{faible}, \text{moyen}, \text{fort}\}$) : la relation est qualitative et graduée.

La relation logique est un cas particulier de la relation valuée, retrouvé lorsque $W = \{0, 1\}$.

6 — Relations d’équivalence et ensembles quotients

L’idée

Certaines distinctions ne comptent pas. Lorsqu’on classe des villes par pays, on regroupe en une catégorie des objets qui diffèrent à tous autres égards. Lorsqu’on dit que deux façons de calculer aboutissent au même résultat, on traite comme identiques des objets formellement distincts.

L’ensemble quotient formalise ce geste : étant donné une manière de déclarer deux éléments équivalents, il constitue un nouvel ensemble dont les membres sont non plus les objets individuels, mais leurs groupes d’équivalence. C’est un changement de granularité — on cesse de voir les individus pour ne voir que les catégories.

Deux notions accompagnent cette construction : la projection canonique, qui envoie chaque élément vers sa catégorie, et l’isomorphisme, qui permet de reconnaître quand deux descriptions différentes capturent la même structure.

Relation d’équivalence

Une relation binaire $\sim$ sur un ensemble $A$ est une relation d’équivalence si elle satisfait simultanément :

Réflexivité : $a \sim a$ pour tout $a \in A$ — tout élément s’équivaut lui-même ;
Symétrie : si $a \sim b$ alors $b \sim a$ — l’équivalence est réciproque ;
Transitivité : si $a \sim b$ et $b \sim c$ alors $a \sim c$ — l’équivalence se propage.

Exemples.

Parité sur $\mathbb{Z}$ : $a \sim b$ si $a - b$ est pair. Deux classes : les entiers pairs et les entiers impairs.
Congruence modulo $n$ : $a \sim b$ si $n$ divise $a - b$. Pour $n = 7$, les entiers se répartissent en sept classes — comme les jours de la semaine.
Relation identité : $a \sim b$ si et seulement si $a = b$. Chaque élément forme sa propre classe, sans aucun regroupement. C’est la relation d’équivalence la plus fine.
Relation universelle : $a \sim b$ pour tous $a, b \in A$. Tous les éléments tombent dans une seule classe. C’est la relation d’équivalence la plus grossière.

Classes d’équivalence

La classe d’équivalence d’un élément $a \in A$ est l’ensemble de tous les éléments équivalents à $a$ :

\[[a]_{\sim} \;=\; \left\{ x \in A \mid x \sim a \right\}\]

On appelle $a$ un représentant de la classe $[a]{\sim}$ : tout autre élément $b \in [a]{\sim}$ aurait pu jouer ce rôle, la classe ne dépend pas du représentant choisi.

Propriété fondamentale. Deux classes sont soit identiques, soit disjointes :

\[[a]_{\sim} = [b]_{\sim} \;\Longleftrightarrow\; a \sim b \qquad \text{et} \qquad [a]_{\sim} \cap [b]_{\sim} = \emptyset \;\Longleftrightarrow\; a \not\sim b\]

Les classes d’équivalence forment ainsi une partition de $A$ : elles sont deux à deux disjointes et leur réunion couvre $A$ tout entier. Réciproquement, toute partition de $A$ définit une relation d’équivalence — les deux notions se correspondent biunivoquement.

Ensemble quotient

Définition — Ensemble quotient

L’ensemble quotient de $A$ par $\sim$, noté $A/{\sim}$, est l’ensemble de toutes les classes d’équivalence :
\[A/{\sim} \;=\; \left\{ [a]_{\sim} \mid a \in A \right\}\]
Les éléments de $A/{\sim}$ sont des sous-ensembles de $A$. Chaque élément de $A/{\sim}$ est une catégorie entière — une collection d’objets de $A$ que l’on ne distingue plus.

Exemples.

Pour la parité : $\mathbb{Z}/{\sim} = \{[\text{pairs}],\, [\text{impairs}]\}$ — deux éléments.
Pour la congruence modulo $n$ : $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} = \{[0],\, [1],\, \ldots,\, [n-1]\}$ — exactement $n$ classes.

Projection canonique

Définition — Projection canonique

La projection canonique est l’application $\pi : A \to A/{\sim}$ définie par
\[\pi(a) = [a]_{\sim}\]
Elle envoie chaque élément de $A$ vers sa classe d’équivalence dans $A/{\sim}$.

$\pi$ est surjective par construction — toute classe a au moins un antécédent. Elle n’est pas injective en général : deux éléments équivalents partagent la même image, $\pi(a) = \pi(b)$ dès que $a \sim b$.

La projection canonique est le sens formel du mot « projeter » : passer d’une description fine (les éléments de $A$) vers une description grossière (leurs classes dans $A/{\sim}$), en effaçant les distinctions que $\sim$ juge sans pertinence.

Isomorphisme et théorème de factorisation

Soit $f : A \to B$ une application quelconque. Elle induit naturellement une relation d’équivalence sur $A$ :

\[a \sim_f b \;\Longleftrightarrow\; f(a) = f(b)\]

Deux éléments sont équivalents si et seulement si $f$ leur associe la même image.

Théorème de factorisation.

Toute application $f : A \to B$ se factorise de façon unique à travers le quotient $A/{\sim_f}$ :
\[A \;\xrightarrow{\;\pi\;}\; A/{\sim_f} \;\xrightarrow{\;\bar{f}\;}\; \mathrm{Im}(f) \;\hookrightarrow\; B\]
où $\pi$ est la projection canonique, $\bar{f}\bigl([a]_{\sim_f}\bigr) = f(a)$, et $\bar{f}$ est une bijection de $A/{\sim_f}$ vers $\mathrm{Im}(f)$.

Autrement dit : toute application se décompose en trois étapes — regrouper les éléments à même image (projection), établir une correspondance biunivoque entre les groupes et leurs images (bijection), puis inclure ces images dans le codomaine (injection). La factorisation est unique car $\bar{f}$ est entièrement déterminée par $f$ — le choix du représentant n’affecte pas le résultat.

Un isomorphisme entre deux ensembles est une bijection qui préserve leur structure dans les deux sens. Pour des ensembles sans structure supplémentaire, c’est simplement une bijection. Dès qu’une structure est présente — une opération, un ordre, une topologie —, l’isomorphisme doit la respecter, et son inverse aussi. Le théorème de factorisation dit que $A/{\sim_f}$ et $\mathrm{Im}(f)$ sont isomorphes : ils ont la même organisation à renommage près.

Exemple. L’ensemble $\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$ est isomorphe à l’ensemble $\{$lundi, mardi, …, dimanche$\}$ muni de la rotation « jour suivant » : les deux structures sont cycliques d’ordre 7, seuls les noms diffèrent.

Lien avec le texte

Dans le chapitre sur les échelles, l’ensemble quotient est l’outil formel du changement de granularité. Une échelle est un choix de ce qu’on considère comme équivalent : deux configurations sont indiscernables à cette échelle si elles ne diffèrent que par des détails en deçà de son seuil de résolution. L’ensemble quotient $A/{\sim}$ est la collection de ces catégories — la description de la réalité vue depuis cette échelle.

La projection canonique $\pi : A \to A/{\sim}$ est la descente vers la description grossière : elle associe à chaque objet fin sa catégorie à l’échelle choisie. L’isomorphisme garantit que le résultat ne dépend pas du représentant choisi pour nommer chaque classe — la structure du quotient est intrinsèque, non arbitraire.

7 — Relations d’ordre

L’idée

Un ordre formalise l’idée de « classement » ou de « hiérarchie ». Quand on dit « 3 est inférieur à 7 » ou « janvier vient avant mars », on utilise une relation d’ordre.

Ordre partiel

Un ordre (ou ordre partiel) sur un ensemble $T$ est une relation binaire $\leq$ qui vérifie trois propriétés :

Réflexivité : tout élément est comparable à lui-même. Pour tout $t$, $t \leq t$.
Antisymétrie : si $t \leq u$ et $u \leq t$, alors $t = u$. Deux éléments ne peuvent être mutuellement « inférieurs » que s’ils sont identiques.
Transitivité : si $t \leq u$ et $u \leq v$, alors $t \leq v$. Le classement est cohérent.

L’adjectif partiel signifie que certains éléments peuvent ne pas être comparables : on ne peut dire ni $t \leq u$ ni $u \leq t$.

Exemple. L’inclusion entre ensembles est un ordre partiel. Si $A = \{1\}$, $B = \{2\}$ et $C = \{1, 2\}$, alors $A \subseteq C$ et $B \subseteq C$, mais $A$ et $B$ ne sont pas comparables — aucun n’est inclus dans l’autre.

Ordre total

Un ordre est total si deux éléments quelconques sont toujours comparables : pour tous $t, u$, on a $t \leq u$ ou $u \leq t$.

Exemples. L’ordre usuel sur les nombres ($\leq$ sur $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$ ou $\mathbb{R}$) est total : deux nombres sont toujours comparables. L’ordre chronologique des dates est total. L’inclusion entre ensembles, en revanche, n’est pas totale.

Bon ordre

Un ordre total est un bon ordre si tout sous-ensemble non vide admet un plus petit élément.

$\mathbb{N} = \{0, 1, 2, \ldots\}$ est un bon ordre : dans n’importe quelle collection non vide d’entiers naturels, il y en a un qui est le plus petit.
$\mathbb{Z} = \{\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots\}$ n’est pas un bon ordre : l’ensemble $\{\ldots, -3, -2, -1\}$ n’a pas de plus petit élément.

La différence est essentielle pour le temps : un bon ordre garantit l’existence d’un premier instant. L’ensemble $\mathbb{N}$ a un début (zéro) ; $\mathbb{Z}$ n’en a pas.

8 — Topologie

L’idée

La topologie est la branche des mathématiques qui étudie les notions de proximité, de continuité et de forme — sans recourir aux mesures de distance ou d’angle.

L’intuition fondamentale est la suivante : on veut pouvoir dire que deux éléments sont « proches » ou « éloignés », qu’un chemin est « continu » ou qu’il fait un « saut », qu’une forme est « la même » qu’une autre à déformation près — et cela sans avoir besoin de mesurer quoi que ce soit.

Comment est-ce possible ? En spécifiant, pour chaque point, quels sont les ensembles de points qui l’« entourent ». C’est la notion de voisinage.

Voisinages

Soit $A$ un ensemble. Une topologie sur $A$ consiste à attribuer, à chaque élément $x \in A$, une collection de voisinages $\mathcal{V}(x)$.

Un voisinage de $x$ est un sous-ensemble de $A$ qui contient $x$ et les éléments considérés comme « proches » de $x$. Plus le voisinage est petit, plus les éléments qu’il contient sont proches de $x$.

Exemple concret. Imaginons trois villes : Paris, Lyon, Marseille. Un voisinage de Lyon pourrait être $\{$Paris, Lyon$\}$ (les villes à moins de 500 km de Lyon) ou $\{$Lyon$\}$ seul (les villes à moins de 50 km). Marseille n’apparaît dans aucun petit voisinage de Lyon — elle est « topologiquement éloignée ».

Les voisinages doivent satisfaire quelques règles de bon sens :

$x$ appartient à chacun de ses voisinages (on est toujours proche de soi-même).
Si $V$ est un voisinage de $x$ et $V \subseteq W$, alors $W$ est aussi un voisinage de $x$ (un ensemble plus grand qu’un voisinage est encore un voisinage).
L’intersection de deux voisinages de $x$ est un voisinage de $x$ (la zone commune à deux voisinages est encore un voisinage).

Définition — Topologie

Une topologie sur un ensemble $A$ est une famille :
\[T = (\mathcal{V}(x))_{x \in A}\]
qui associe à chaque élément $x \in A$ une collection $\mathcal{V}(x)$ de voisinages, vérifiant :

$x \in V$ pour tout $V \in \mathcal{V}(x)$ — on est toujours dans ses propres voisinages ;

si $V \in \mathcal{V}(x)$ et $V \subseteq W \subseteq A$, alors $W \in \mathcal{V}(x)$ — tout surensemble d’un voisinage est un voisinage ;

si $V, W \in \mathcal{V}(x)$, alors $V \cap W \in \mathcal{V}(x)$ — l’intersection de deux voisinages est un voisinage ;

si $V \in \mathcal{V}(x)$, il existe $W \in \mathcal{V}(x)$ tel que $V \in \mathcal{V}(y)$ pour tout $y \in W$ — tout voisinage de $x$ est également un voisinage de tous les points qui lui sont proches.

L’ensemble $A$ muni de $T$ est appelé espace topologique, noté $(A, T)$.

Ouverts et fermés

Un ouvert est un ensemble $U$ tel que chacun de ses points est « à l’intérieur » : pour tout $x \in U$, il existe un voisinage de $x$ entièrement contenu dans $U$. Autrement dit, aucun point d’un ouvert n’est « au bord ».

Un fermé est le complémentaire d’un ouvert : un ensemble dont le « bord » est inclus dans l’ensemble.

Analogie. Sur la droite des nombres réels :

L’intervalle ouvert $(0, 1) = \{x \mid 0 < x < 1\}$ est un ouvert : pour chaque point à l’intérieur, on peut trouver un petit intervalle autour de lui qui reste à l’intérieur. Mais les extrémités 0 et 1 ne sont pas incluses.
L’intervalle fermé $[0, 1] = \{x \mid 0 \leq x \leq 1\}$ est un fermé : les extrémités sont incluses.
L’intervalle $[0, 1)$ n’est ni ouvert ni fermé.

Distance et espace métrique

Lorsqu’on dispose d’une distance — une fonction $d : A \times A \to \mathbb{R}^+$ qui mesure l’écart entre deux éléments — celle-ci induit naturellement une topologie.

Une distance doit satisfaire :

$d(x, y) \geq 0$, et $d(x, y) = 0$ si et seulement si $x = y$ (la distance est positive, et nulle uniquement pour un point avec lui-même) ;
$d(x, y) = d(y, x)$ (la distance est symétrique) ;
$d(x, z) \leq d(x, y) + d(y, z)$ (inégalité triangulaire : le chemin direct est toujours le plus court).

Un ensemble muni d’une distance s’appelle un espace métrique.

Dans un espace métrique, les voisinages sont les boules ouvertes :

$B(x, r) = \{y \in A \mid d(x, y) < r\}$

La boule $B(x, r)$ contient tous les points situés à une distance strictement inférieure à $r$ de $x$.

Topologie sans distance

La puissance de la topologie est qu’elle ne nécessite pas de distance. Deux éléments peuvent être déclarés « proches » sans qu’on puisse quantifier leur écart. La distance est un cas particulier — le plus intuitif et le plus courant — mais pas le seul.

Exemples.

Sur un réseau social, on pourrait définir la proximité par le nombre de connexions communes, sans que cela constitue une distance au sens formel (l’inégalité triangulaire n’est pas nécessairement respectée).
Sur un graphe, la topologie naturelle est celle du voisinage dans le graphe : les voisins d’un sommet sont les sommets reliés par une arête. Cette topologie « discrète » ne provient pas d’une distance continue.

Continuité

La topologie permet de définir la continuité sans recourir aux limites numériques. Une application $f : A \to B$ est continue si elle préserve la proximité : les images de points proches sont proches. Formellement, l’image réciproque de tout ouvert de $B$ est un ouvert de $A$.

Intuition. Si deux points sont dans un même petit voisinage (ils sont proches), leurs images par $f$ doivent aussi être proches. La fonction ne « déchire » pas l’espace.

Topologie dans le texte

Dans le texte principal, la topologie intervient comme troisième composante d’un état : $e = (A, R, T)$, où $T = (\mathcal{V}(x))_{x \in A}$ est la topologie sur l’ensemble $A$ des éléments présents. Elle formalise la disposition spatiale des éléments, indépendamment de leurs relations. Deux éléments peuvent être topologiquement voisins (proches dans l’espace) sans être en relation (connectés dans le graphe), et réciproquement.

La topologie d’un état peut être influencée par ses relations : si la configuration des relations modifie la structure de voisinage, on obtient une topologie effective différente de la topologie de base. Cette influence est analogue à la courbure de l’espace-temps en relativité générale, où la distribution de masse déforme la géométrie de l’espace.

9 — Probabilités

L’idée

Les probabilités formalisent l’incertitude. Lorsqu’on ne sait pas avec certitude ce qui va se produire, mais qu’on connaît les possibilités et qu’on peut évaluer leurs chances respectives, on est dans le domaine des probabilités.

L’espace de probabilité

Un espace de probabilité $(\Omega, P)$ modélise une situation d’incertitude. Il est constitué de trois éléments :

L’univers $\Omega$ est l’ensemble de toutes les issues possibles — tous les résultats élémentaires que l’expérience pourrait produire. Chaque issue $\omega \in \Omega$ est un résultat concret, indivisible.

Exemple. Lancer un dé à six faces : $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. Tirer une carte d’un jeu : $\Omega$ contient 52 éléments.

Un événement est un sous-ensemble de $\Omega$ — un ensemble d’issues. Un événement se produit lorsque l’issue observée lui appartient.

Exemple. « Obtenir un nombre pair » est l’événement $\{2, 4, 6\} \subset \Omega$. « Obtenir 6 » est l’événement $\{6\}$. « Obtenir quelque chose » est l’événement $\Omega$ tout entier.

La probabilité $P$ est une fonction qui attribue à chaque événement un nombre entre 0 et 1 :

$P(\Omega) = 1$ : quelque chose se produit nécessairement.
$P(\emptyset) = 0$ : l’événement « rien ne se produit » est impossible.
Si deux événements $A$ et $B$ sont incompatibles (ils ne peuvent se produire simultanément), alors $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.

La probabilité mesure la “chance” qu’un événement se produise : 0 signifie impossible, 1 signifie certain, 0,5 signifie une chance sur deux.

Variable aléatoire

Une variable aléatoire est une fonction qui transforme chaque issue du hasard en un résultat concret. Formellement, c’est une application $f : \Omega \to \mathcal{A}$, où $\mathcal{A}$ est l’ensemble des résultats possibles.

L’idée est la suivante : l’issue $\omega$ (le résultat brut du hasard) n’est pas toujours ce qui nous intéresse. On veut souvent en déduire une conséquence — un gain, une action, un état. La variable aléatoire opère cette traduction.

La loi d’une variable aléatoire

La loi de $f$ décrit les probabilités des différents résultats :

$P(f = a) = P(\{\omega \in \Omega \mid f(\omega) = a\})$

Elle dit : « quelle est la probabilité que la variable aléatoire prenne telle valeur ? »

Exemple détaillé

Un joueur lance un dé et gagne 10 € s’il obtient 6, perd 2 € sinon.

Univers : $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ — les six issues possibles.
Probabilité : $P$ uniforme — chaque face a une probabilité de $1/6$.
Événement « obtenir 6 » : le sous-ensemble $\{6\}$, de probabilité $1/6$.
Événement « ne pas obtenir 6 » : le sous-ensemble $\{1, 2, 3, 4, 5\}$, de probabilité $5/6$.
Variable aléatoire « gain du joueur » : $G : \Omega \to \mathbb{R}$ définie par $G(6) = 10$ et $G(\omega) = -2$ pour $\omega \neq 6$. La variable $G$ n’est pas l’identité — elle transforme le résultat du dé en une conséquence (un gain ou une perte).
Loi de $G$ : $P(G = 10) = 1/6$ et $P(G = -2) = 5/6$.

Lien avec le texte

Dans le texte principal, une force est une variable aléatoire à valeurs dans un ensemble d’actions :

$f : \Omega \to \mathcal{A}$

Pour chaque issue $\omega$ du hasard, $f(\omega)$ est l’action sélectionnée. Si la force est déterministe, elle sélectionne toujours la même action — la probabilité est concentrée sur un seul résultat. Si elle est stochastique, plusieurs actions sont possibles, chacune avec une certaine probabilité.

Pour aller plus loin

Les notions présentées dans cette annexe sont le point de départ d’un vaste territoire mathématique. Deux ouvrages permettent de les approfondir sans prérequis particuliers :

Lipschutz, Seymour & Lipson, Marc — Mathématiques discrètes, Schaum/McGraw-Hill (trad. fr.). Un manuel pratique et progressif qui couvre l’essentiel : ensembles, relations, fonctions, graphes, combinatoire et probabilités. Très accessible, riche en exemples et exercices résolus — la meilleure ressource pour consolider les fondements abordés dans cette annexe.
Courant, Richard & Robbins, Herbert — What is Mathematics ?, Oxford University Press (1941, rééd. 1996 ; trad. fr. disponible). Un panorama intuitif et profond des mathématiques fondamentales — arithmétique, algèbre, géométrie, topologie, calcul. Le plus accessible des grands livres de mathématiques générales, destiné à quiconque veut comprendre ce qu’est réellement la pensée mathématique.